NÚMEROS HIPERREALES

“El lenguaje de los infinitésimos es compatible con el rigor matemático” (Abraham Robinson)

“Hay buenas razones para creer que el análisis no estándar, en una versión u otra, será el análisis del futuro” (Kurt Gödel)

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Análisis No Estándar
Introducción

El análisis no estándar −también llamado “no convencional”−, ideado por Abraham Robinson en los 1960s, es considerado como la culminación de una larga historia de la formalización, abstracción y conceptualización de los números de tipo infinito.

Los objetivos de esta teoría son los siguientes:

1. Proporcionar un significado preciso a algo que siempre fue confuso: todo lo relativo a los conceptos que incluían el infinito: números infinitamente grandes, infinitamente pequeños, infinitamente próximos, etc.
   
   
2. Proporcionar un sistema de cálculo con ese tipo de números para que se pudiera operar con ellos de la misma forma que con los números reales.
   
   
3. Lograr una matemática más integrada, más simple, clara e intuitiva, con expresiones más cortas y sintéticas que con el análisis estándar, y más práctica.

Conceptos principales

• Define un nuevo tipo de números, los números hiperreales (simbolizados mediante *R), que generalizan los números reales convencionales (R).
  
  Un número hiperreal (o no estándar) se define mediante una secuencia infinita (a la derecha) de números reales. Cuando todos los componentes de la secuencia son el mismo número real r, se tiene el equivalente al número real r o “estándar”. Si los componentes no son iguales, el número es “no estándar”. R es el conjunto de los números estándar y *R−R es el conjunto de los números no estándar.
  
  
• Las operaciones y leyes de la aritmética tradicional también se aplican a los hiperreales. En las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de hiperreales, se realizan estas operaciones con cada uno de los componentes de la secuencia. El resultado es otro hiperreal. El conjunto de los números hiperreales es una estructura algebraica denominada “anillo conmutativo”.
  
  
• Un número hiperreal es infinitesimal si es menor que todos los números reales convencionales positivos.
  
  
• Un número hiperreal r es finito si existe un número natural n tal que −n < r < n. Un número hiperreal no finito es infinito.
  
  
• Si un número hiperreal r es infinitesimal, entonces su inverso 1/r es infinito y viceversa.
  
  
• Todo número hiperreal finito r tiene una única parte estándar std(r) y otra infinitesimal, que es r−std(r). Si r es real, std(r) = r y su parte infinitesimal es cero.
  
  
• Dos números hiperreales r y s están infinitamente próximos, r≈s, si r−s es un infinitesimal.
  
  
• La derivada de una función f(x) se define como
  
  
  df(x)/dx = std((f(x+dx)−f(x))/dx)
  
  siendo dx un infinitesimal y std la función que extrae la parte estándar del hiperreal.
  
  
• Toda propiedad P(x) que sea cierta para todo número estándar x, también lo es para todo número no estándar (principio de transferencia).
  
  
• Si para todo x estándar existe otro y estándar tal que la sentencia P(x, y) es cierta, entonces existe un y (no estándar) tal que P(x, y) es cierta también (principio de idealización).
  
  Por ejemplo, P(x, y) es: “Para todo x>0 existe un y intermedio entre 0 y x (0<y<x)”. Esta propiedad, que es válida para todo número real estándar, también lo es para todo número real no estándar.
  
  
• Un número hiperreal r es limitado si existen dos números reales a y b, tales que a<r<b.
  
  
• La “sombra” de un hiperreal limitado r, sombra(r), es el número real más cercano, que es la parte estándar de r.
  
  
• El “halo” de un número hiperreal r, halo(r), es el conjunto de todos los hiperreales próximos a r. El conjunto de todos los infinitesimales es halo(0).
  
  
• La “galaxia” de un número hiperreal r, galaxia(r), es el conjunto de todos los hiperreales que están a una distancia limitada de r. El conjunto de todos los números limitados es galaxia(0).
  
  
• Las expresiones no estándar son, en teoría, más sencillas, intuitivas y prácticas que las expresiones estándar. Por ejemplo, la expresión estándar de continuidad de una función f(x) en el punto x₀ es:
  
  
  ∀x ∀ε>0 ∃δ>0 | |x − x₀|<δ → |f(x) − f(x₀)|<ε
  
  (para todo x y para todo ε>0, existe δ>0 tal que si |x − x₀|<δ, entonces |f(x) − f(x₀)|<ε).
  
  La expresión no estándar es:
  
  
  ∀x (x ≈ x₀ → f(x) ≈ f(x₀))
  
  (para todo x infinitamente próximo a x₀, f(x) está infinitamente próximo a f(x₀)).
  
  Esta expresión es más inteligible porque utiliza el concepto previo de números infinitamente próximos.
  
  
• Las relaciones de comparación (r<s, r≤s, etc.) entre dos números hiperreales no se define cuando todos los componentes de r y s cumplen esa relación, sino cuando se cumple para un conjunto específico de índices llamado “ultrafiltro”. La relación de orden es total y hay una ley de tricotomía: para todo r y s de *R, se cumple que r<s, r=s ó r>s.
  
  
• Permite crear superestructuras (estructuras de orden superior).
  
  
• El conjunto hiperfinito es uno de los conceptos más útiles del análisis no estándar, pues permite estudiar estructuras infinitas que satisfacen varias condiciones de finitud.

Axiomática

En los sistemas axiomáticos de primer orden, los axiomas se pueden referir a propiedades de los objetos del sistema, pero no pueden referirse a objetos de nivel superior (por ejemplo, conjuntos, secuencias, subconjuntos, conjuntos de conjuntos, etc.). En los sistemas axiomáticos de orden superior, puede haber axiomas que se refieran a objetos de niveles superiores.

Ejemplos:

1. ∀x, y∈C (x+y = y+x)
   (x+y = y+x para todo par de elementos x, y del conjunto C)
   
   Este axioma es de primer orden, porque hace referencia a los elementos del conjunto C.
   
   
2. x<1/n ∀n∈N | n>1 → x=0
   (si x<1/n para todo número natural n>1, entonces x=0)
   
   Este axioma es de segundo orden, porque hace referencia a los elementos de un subconjunto de N (los números mayores que 1).
   
   
3. La medida en un espacio métrico E es una aplicación entre los subconjuntos de E y R (los números reales). Requiere objetos de segundo orden, así como su lógica asociada.
   
   
4. El propio sistema axiomático establecido para los números reales (R) es de segundo orden.

Pero con el análisis no estándar se puede trabajar solo con axiomas de primer orden, gracias a los mecanismos de creación de estructuras de orden superior. Por ejemplo, para el ejemplo anterior de la medida en un espacio métrico, se crea la superestructura

S = P(E)×R

(producto cartesiano de la potencia de E y los números reales)

La medida en este espacio métrico sería un elemento de S, y el sistema axiomático sería de primer orden.


Limitaciones y problemas del análisis no estándar

Desde su invención, el análisis no estándar se ha intentado aplicar a gran cantidad de dominios: teoría de números, ecuaciones diferenciales, teoría de la probabilidad, teoría económica, física matemática, topología, análisis funcional, sistemas dinámicos, etc. Se ha utilizado con éxito especialmente para la simplificación de las demostraciones de algunos teoremas clásicos e incluso ha permitido encontrar resultados nuevos.

Pero la realidad es que el análisis no estándar no ha sido aceptado como un fundamento práctico del Análisis, hasta el punto que existe un cierto escepticismo respecto a la supervivencia de esta teoría, que no se ha hecho popular.

Entre las muchas limitaciones y problemas en esta teoría, podemos señalar:

• No es una teoría global de la matemática. Es una extensión del Análisis tradicional o estándar que contempla e integra los números de tipo infinito. La teoría es genérica, pero no lo suficientemente genérica.
  
  
• Es una teoría un tanto contradictoria. Por una parte pretende lograr la simplicidad, pero por otra es compleja, pues utiliza demasiados conceptos y poco prácticos en general,
  
  
• No incluye los números transfinitos de Cantor.
  
  
• Si existen los números hiperreales, deberían existir los hiperreales de orden superior (hiper−hiperreales, etc.).
  
  
• Muchos conceptos del análisis no estándar están definidos informalmente.
  
  
• Utilizar el concepto de secuencia para definir hiperreales es desvirtuar el concepto original de esta estructura matemática. Una secuencia (finita o infinita) no puede ser conceptualmente un número.
  
  
• Se aplican las técnicas tradicionales de la lógica matemática, con sus limitaciones conceptuales.
  
  
• Se utiliza un enfoque axiomático, en lugar de un enfoque constructivo, pues se reconoce que, a veces, construir formalmente hiperreales es complicado. Lo que se hace es postular mediante axiomas su existencia y propiedades.
  
  
• La relación de orden definida entre hiperreales es relativa y no absoluta, pues depende de un conjunto de índices (el ultrafiltro).
  
  
• Las secuencias infinitas de números solo pueden utilizarse en la práctica de manera descriptiva.

MENTAL vs. Análisis No Estándar
MENTAL simplifica tanto las cosas que el análisis no estándar se hace innecesario. Todo es más sencillo y no se necesita la axiomática tradicional basada en la teoría de conjuntos, sino que se utiliza una axiomática semántica en donde siempre se utilizan las mismas primitivas (arquetipos primarios) para construir y describir expresiones. Utiliza los conceptos justos, primarios y esenciales a partir de los cuales se pueden generar otras expresiones y conceptos derivados, incluyendo estructuras de números reales.

Con MENTAL:

• Se pueden especificar todo tipo de expresiones, numéricas y simbólicas.
• Se pueden definir infinitésimos y expresiones infinitas.
• Se pueden utilizar predicados de cualquier orden.

Algunos ejemplos de MENTAL relativos a hiperreales

• Definición de infinitésimo.
  
  
  (ε*ε = 0)
  
  
• Números infinitamente próximos.
  
  
  ⟨( (r1 ≈ r2) ↔ abs(r1−r2 = ε) )⟩
  (abs indica valor absoluto)
  
  
• Partes estándar y no estándar.
  
  Si (r = r1 + r2*ε), la parte estándar de r es r1. Y la parte no estándar es r2*ε. Esta última es también un infinitésimo, puesto que (r2*ε)^2 = 0.
  
  
• Continuidad de una función en x0.
  
  
  ⟨( (x ≈ x0) → (f(x) ≈ f(x0) )⟩
  
  Esta expresión es aún más simple que la que utiliza el análisis no estándar.
  
  
• Derivada de una función:
  
  
  ⟨( df(x)÷dx = (f(x+ε)−f(x))÷ε)/(ε=0) )⟩
  
  Por ejemplo,
  
  
  d(x^n)÷dx = (((x+ε)^n − x^n)÷ε)/(ε=0) = n*x^(n−1)
  
  
• Halo de r: el conjunto de números reales próximos a r.
  
  
  ⟨( Halo(r) = {⟨s ← s≈r⟩} )⟩
  
  
• Halo de 0 es el conjunto de todos los infinitesimales:
  
  
  Halo(0) = {⟨(r ← r≈0)⟩} = {⟨r*ε⟩} (pues (r*ε)(r*ε) = 0)
  
  
• Axiomática de primer orden (ejemplo):
  
  
  ⟨( (x+y = y+x) ← x∈C ← y∈C)⟩
  (propiedad conmutativa)
  
  
• Axiomática de segundo orden (ejemplo):
  
  
  ⟨( (r < 1÷n)→ nδ1 → r=0 )⟩

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Bibliografía

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• Dauben, Joseph Warren. Abraham Robinson. The creation of nonstandard analysis. A personal and mathematical oddysey. Princeton University Press, 1998.
  
  
• Davis, Philips J. y Hersh, Reuben. Análisis no estándar. Experiencia Matemática, pp. 178−188. Editorial Labor, 1988.
  
  
• Goldblatt, Robert. Lectures on the Hyperreals: An Introduction to Nonstandard Analysis. Springer, 1998.
  
  
• Gómez Pin, Victor. El infinito. En los confines de lo pensable. Ediciones Temas de Hoy, 1990.
  
  
• Gutierrez Hermoso, Jordi. Nonstandard Analysis and the Hyperreals. Internet.
  
  
• Lindstrom, T. Nonstandard análisis and its applications. Cambridge University Press (USA), 1988.
  
  
• Robinson, Abraham. Non−standard Analysis. Princeton University Press, 1996.